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如何判断二元函数的驻点和极值点

来源:www.beijingzsjm.com 时间:2024-06-11 15:27:30 作者:多谋判断网 浏览: [手机版]

本文目录一

如何判断二元函数的驻点和极值点(1)

二元函数是一个含两个自量的函数,通常表示为f(x,y),其x和y是自量,f(x,y)是函数值多.谋.判.断.网。在二元函数,我们可以定义驻点和极值点来研究函数的性质。本文将介绍如何判断二元函数的驻点和极值点。

一、驻点的定义

驻点是函数在该点的梯度为零的点,即f(x,y)在(x0,y0)处的梯度为0。梯度是函数在某一点处的化率,可以用向量表示www.beijingzsjm.com多谋判断网。对于二元函数f(x,y),其梯度可以表示为:

  grad(f) = (fx, fy)

  其fx和fy分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。在驻点处,梯度为0,即:

  grad(f)(x0,y0) = (fx(x0,y0), fy(x0,y0)) = (0,0)

二、极值点的定义

  极值点是函数在该点取得极值的点,括极大值点和极小值点。在二元函数,如果在驻点处的二阶偏导数满足以下条件,则该点是极值点:

  1. 二阶偏导数符号相,且为正,则该点是极小值点。

  2. 二阶偏导数符号相,且为负,则该点是极大值点多.谋.判.断.网

  3. 二阶偏导数符号,则该点是鞍点。

  二阶偏导数可以用以下公式表示:

  fxx = ∂²f/∂x², fyy = ∂²f/∂y², fxy = ∂²f/∂x∂y

fxx和fyy分别表示f(x,y)对x和y的二阶偏导数,fxy表示f(x,y)对x和y的交叉偏导数。

三、判断驻点和极值点的步骤

1. 求出函数的梯度grad(f)。

  2. 求出函数的二阶偏导数fxx、fyy和fxyDJGL

  3. 求出驻点,即grad(f) = (0,0)的点。

4. 判断驻点是否为极值点,如果是,则判断是极大值点还是极小值点。

  5. 如果驻点是极值点,则该点为鞍点。

如何判断二元函数的驻点和极值点(2)

四、实例分析

  例如,考虑函数f(x,y) = x^2 + y^2 - 2xy - 2x - 2y + 4多谋判断网。首先求出该函数的梯度:

  grad(f) = (2x - 2y - 2, 2y - 2x - 2)

  后求出该函数的二阶偏导数:

  fxx = 2, fyy = 2, fxy = -2

接着求出驻点,即grad(f) = (0,0)的点:

  2x - 2y - 2 = 0, 2y - 2x - 2 = 0

  解得(x0,y0) = (1,1)。

  后判断驻点是否为极值点,计二阶偏导数:

  fxx = 2, fyy = 2, fxy = -2

  由于fxx和fyy都为正,且fxx*fyy - fxy^2 = 4 - 4 > 0,因此该点是极小值点。

五、总结

  本文介绍了如何判断二元函数的驻点和极值点。对于一个二元函数,我们可以通过求梯度和二阶偏导数来判断其驻点和极值点原文www.beijingzsjm.com。在实际应用,判断驻点和极值点是非常重要的,可以帮助我们更好地了解和研究函数的性质。

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