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线性方程组解的判断的证明

来源:www.beijingzsjm.com 时间:2024-04-24 10:18:55 作者:多谋判断网 浏览: [手机版]

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线性方程组解的判断的证明(1)

引言

  线性方程组中数学中的一个重要内容,其解的存在与唯一性是一个基本问题来源www.beijingzsjm.com。在本文中,我们证明线性方程组解的存在与唯一性的定理,并通过实例来说明如何应用这个定理。

定理的证明

  定理:于线性方程组$Ax=b$,如果$A$的秩于$b$的秩,方程组有解解唯一。

证明:

  设$A$是$m\times n$的矩阵,$b$是$m\times 1$的向量多谋判断网www.beijingzsjm.com。由于$A$的秩于$b$的秩,所以存在一个秩为$r$的矩阵$B$,使$A$可以通过一系列初变换化为$B$的行阶梯形式。

  设$B$的非零行数为$k$,$B$的最后$k$行是非零行,这些非零行的第一个非零元素都在不同的列上。因此,$B$的最后$k$列是线性关的多 谋 判 断 网

  设$B$的第$i$行第一个非零元素所在的列为$j_i$,$Ax=b$的解可以表示为:

$$

x_j=\begin{cases}

  b_i/B_{i,j_i} & j=j_i\\

0 & j\neq j_i

\end{cases}

$$

因此,$Ax=b$的解唯一。

实例分析

  考虑以下线性方程组:

  $$

  \begin{cases}

  x_1+x_2+x_3=1\\

  2x_1+3x_2+4x_3=2\\

  3x_1+5x_2+7x_3=3

  \end{cases}

  $$

  其写成矩阵形式$Ax=b$,有:

$$

  \begin{pmatrix}

  1 & 1 & 1\\

  2 & 3 & 4\\

  3 & 5 & 7

  \end{pmatrix}

  \begin{pmatrix}

  x_1\\

x_2\\

  x_3

\end{pmatrix}

  =

\begin{pmatrix}

  1\\

  2\\

3

\end{pmatrix}

  $$

计算$A$的秩为2,$b$的秩为1,因此方程组有解解唯一。

通过初变换$A$化为行阶梯形式:

  $$

  \begin{pmatrix}

1 & 1 & 1\\

  0 & 1 & 2\\

  0 & 0 & 0

\end{pmatrix}

  \begin{pmatrix}

  x_1\\

  x_2\\

  x_3

  \end{pmatrix}

=

  \begin{pmatrix}

  1\\

  0\\

  -1

\end{pmatrix}

$$

由于$B$的最后一列是非零列,所以方程组有解多~谋~判~断~网。同时,由于$B$的非零行数为2,所以方程组的解唯一。

解为$x_1=1,x_2=-1,x_3=0$。

线性方程组解的判断的证明(2)

结论

通过以上证明和实例分析,我们可以出结论:于线性方程组$Ax=b$,如果$A$的秩于$b$的秩,方程组有解解唯一多_谋_判_断_网。这个定理在解决线性方程组的问题时非常有用,可以帮助我们快判断方程组是否有解以及解的唯一性。

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